Para David Hilbert (1862-1943) e outros, o problema de estabelecer fundamentos rigorosos era o grande desafio ao empreendimento de tantos, que pretendiam reduzir todas as leis científicas a equações matemáticas, e que teve como ápice os anos da década de 1930. Através de dois relatórios, em 1922 e 1923, propôs o chamado Programa Hilbertiano, voltado para uma prova não mais 'relativa' (a outro sistema), mas direta e absoluta de um sistema axiomático. Era necessário colocar a matemática em bases rigorosamente sólidas, com axiomas e regras de procedimento que deveriam ser estabelecidos em caráter definitivo. Todos estes estudos denominaram-se Metamatemática ou Metalógica, pela conectividade das duas.

Hilbert propôs-se demonstrar a coerência da aritmética^§26 para depois estender tal coerência aos âmbitos dos demais sistemas. Ele apostou na possibilidade da criação de uma linguagem puramente sintática, sem significado, a partir da qual se poderia falar a respeito da verdade ou falsidade dos enunciados. Tal linguagem foi e é chamada de sistema formal, e está resumida no anexo III. Isto era o centro da doutrina formalista, que mais tarde estimularia Turing a fazer descobertas importantes sobre as capacidades das máquinas. Lembre-se também que John von Neumann, a quem muitos atribuem a construção do primeiro computador, era um aluno de Hilbert e um dos principais teóricos da escola formalista^§27.

Um problema fundamental neste processo de formalização da aritmética era perguntar se existe um procedimento finito pelo qual seja possível decidir a verdade ou falsidade de qualquer enunciado aritmético. Em 1900, no Segundo Congresso Internacional de Matemática, realizado em Paris, David Hilbert propôs uma lista de 23 problemas cuja solução "desafiará futuras gerações de matemáticos". Vários deles foram desde então resolvidos e alguns resistem até hoje, permanecendo ainda em aberto.

O segundo problema da referida lista estava relacionado com a confiabilidade do raciocínio matemático, isto é, se ao seguir as regras de determinado raciocínio matemático não se chegaria a contradições. Relacionado com ele, o problema de número dez é especialmente interessante para a Computação. Era de enunciado bastante simples: descreva um algoritmo que determine se uma dada equação diofantina do tipo P(u₁,u₂,...,u_n) = 0, onde P é um polinômio com coeficientes inteiros, tem solução dentro do conjunto dos inteiros. É o famoso problema da decidibilidade, o Entscheidungsproblem. Este problema consistia em indagar se existe um procedimento mecânico efetivo para determinar se todos os enunciados matemáticos verdadeiros poderiam ser ou não provados, isto é, se eles poderiam ser deduzidos a partir de um dado conjunto de premissas^§28.

Ao mesmo tempo, em 1927, com 22 anos, von Neumann publicou 5 artigos que atingiram fortemente o mundo acadêmico. Três deles consistiam em críticas à física quântica, um outro estabelecia um novo campo de pesquisas chamado Teoria dos Jogos, e, finalmente, o que mais impactou o desenvolvimento da Computação: era o estudo do relacionamento entre sistemas formais lógicos e os limites da matemática. Von Neumann demonstrou a necessidade de se provar a consistência da matemática, um passo importante e crítico tendo em vista o estabelecimento das bases teóricas da Computação (embora ninguém tivesse esse horizonte por enquanto).

Já foi citado no capítulo sobre o Desenvolvimento da Lógica Matemática o desafio dos matemáticos do início do século de aritmetizar a análise. Eles estavam de acordo no que diz respeito às proposições geométricas e outros tipos de afirmações matemáticas: que poderiam ser reformuladas e reduzidas a afirmações sobre números. Logo, o problema da consistência da matemática estava reduzido à determinação da consistência da aritmética. Hilbert estava interessado em dar uma teoria da aritmética, isto é, um sistema formal que fosse finitisticamente descritível^§29, consistente, completo e suficientemente poderoso para descrever todas as afirmações que possam ser feitas sobre números naturais. O que Hilbert queria em 1928 era que para uma determinada afirmação matemática, por exemplo, "a soma de dois números ímpares é sempre um número par", houvesse um procedimento que, após um número finito de passos, parasse e indicasse se aquela afirmação poderia ou não ser provada em determinado sistema formal, suficientemente poderoso para abranger a aritmética ordinária ¹⁶. Isto está diretamente relacionado com o trabalho de Gödel e Alan Turing.

Pode-se afirmar que em geral a lógica matemática prestou nestes tempos maior atenção à linguagem científica, já que seu projeto era o da elaboração de uma linguagem lógica de grande precisão, que fosse boa para tornar transparentes as estruturas lógicas de teorias científicas. Tal projeto encontrou seus limites, tanto na ordem sintática como na ordem semântica (por exemplo com os célebres teoremas de limitação formal). Este fenômeno levou a uma maior valorização da linguagem ordinária, que, apesar de suas flutuações e imprecisões, encerram uma riqueza lógica que os cálculos formais não conseguem recolher de todo. Dentro da própria matemática - como se verá mais adiante com Gödel - há verdades que não podem ser demonstradas mediante uma dedução formal, mas que podem ser demonstradas - o teorema da incompletude de Gödel é uma prova disso - mediante um raciocínio metamatemático informal. A partir desse propósito de construção de uma linguagem ideal surgiu a filosofia da linguagem (Moore, Wittgenstein, Geach em sua segunda etapa) colocando as questões lógicas sobre nova ótica ⁶⁷.

Na verdade, tanto a lógica matemática em sentido estrito como os estudos de semântica e filosofia da linguagem depararam-se com problemas filosóficos que não se resolvem somente dentro de uma perspectiva lógica. Há questões de fundo da lógica matemática que pertencem já a uma filosofia da matemática.

Todos esses desafios abriram uma porta lateral para a Computação e deram origem a um novo e decisivo capítulo na sua História. Da tentativa de resolvê-los ocorreu uma profunda revolução conceitual na Matemática - o Teorema de Gödel - e surgiu o fundamento básico de todo o estudo e desenvolvimento da Computação posterior: a Máquina de Turing.